Proyecto de investigación 5° "A" 2013
agradecimientos a los alumnos de 3° y 4° año y a los profesores.
Pagina creada con el propósito de ayudarte, y facilitarte la comprensión y el estudio de las matemáticas.porque tu nos importas, y nos importa tus estudios.
U.E.N "Rosa Peña" 2013.
Las matemáticas son una ciencia exacta salvo cuando te equivocas.
Jaume Perich
Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo
Los matemáticos de la Grecia Antigua eran muy estudiosos de las propiedades de los números, especialmente de lo que tenía que ver con su divisibilidad. De acuerdo a una leyenda, alguien le preguntó al gran sabio Pitágoras : "¿Qué es un amigo?". Pitágoras respondió: "Aquello que es mi otro ser". Ante la extrañeza de su interlocutor, agregó: "aquello que es mi otro ser, como lo es 220 a 284". Se refería Pitágoras a la pareja más pequeña de números amigos, que comparten el fuerte nexo relativo a sus divisores mencionado al comienzo de esta página. Los divisores de 220 son: 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110. Si se suman estos divisores, se obtiene 284. Por otra parte, los divisores de 284 son:1,2,4,71,142. La suma de todos estos números es igual a 220.
La tarea de encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo entre varios números naturales dados es realizada con frecuencia de una manera muy efectiva, con el uso de una "receta" que se memoriza sin entender muy bien qué es lo que se hace y por qué se hace. En lo que sigue, se explicará el sentido de las operaciones que se realizan en la aplicación de las ya conocidas "recetas".
Como la cantidad de divisores que tiene cualquier número es finita, cuando se consideran los divisores comunes de un grupo de números, siempre hay uno de estos divisores que es mayor que todos los demás. Este número es llamado el máximo común divisor del grupo de números considerado.
Ejemplo:
Para encontrar el máximo común divisor de los números 20, 24, 16, se determinan primero todos sus divisores:
Los de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Los de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Los de 16: 1, 2, 4, 8, 16
Los divisores comunes son: 1, 2, 4
El mayor de estos 3 números es 4, y por lo tanto el máximo común divisor de 20, 24 y 16 es 4, y se escribe así: M.C.D.(20,24,16)= 4.
Para reflexionar:
El máximo común divisor de 6 y 30 es 6. Esto podemos saberlo sin necesidad de encontrar todos los divisores de 30 y de 6. Explica por qué.
Factores primos de un número
Cuando se habla de una multiplicación de números, por ejemplo: 7 x 4 x 3, se dice que los números 7, 4 y 3 son los factores en esa multiplicación.
Todo número natural se puede expresar como una multiplicación de factores, todos primos. Por ejemplo:
El proceso de escribir un número como producto de factores primos se llama descomposición en factores primos del número en cuestión.
Se podría también escribir :
Pero en este caso los factores no son primos.
Si un número no es primo, hay varias maneras de descomponerlo en producto de otros números, pero sólo una manera de descomponerlo en factores primos.
La manera más fácil y segura de obtener todos los divisores de un número cualquiera es la siguiente:
1.- Se comienza por encontrar la descomposición del número en factores primos. Por ejemplo, para hallar los divisores de 36, se busca su descomposición en factores primos, dividiendo sucesivamente entre 2, 3, 5 y todos los números primos que sean necesarios hasta llegar a la unidad como cociente:
La descomposición en factores primos es:
2.-Los divisores de 36 son, además del 1 y del 36, todos los números que se obtienen al multiplicar los factores primos entre sí. Por ejemplo, en el caso de , se obtienen como divisores:
Una vez que se ha determinado la descomposición en factores primos de dos o más números, encontrar el máximo común divisor (MCD) entre ellos es muy sencillo. Sólo hay que encontrar el mayor de todos los divisores comunes a los números en cuestión. Por ejemplo:
Si se quiere hallar el M.C.D. entre 28 y 32, se descomponen estos números en factores primos:
Los divisores comunes de 28 y 32 (los números que dividen a 28 y 32) son . De todos estos, el mayor es 4, luego el MCD (28,32) = 4.
En el caso del ejemplo anterior, se ve que el único factor común es 2, y está elevado al cuadrado en 28 y elevado a la 5 en 32. Se toma entonces como M.C.D.
Es importante, aún cuando se aprende un proceso mecánico que permite resolver un problema determinado, comprender las razones por las cuales ese proceso conduce a la solución del problema. Así, si la memoria fallara y se olvidara algún paso ó etapa del procedimiento, es posible, usando el razonamiento, reconstruir el proceso total y lograr obtener la solución de todas maneras.
También puede ayudar en muchos casos el comprender por qué se hace lo que se hace, para ahorrar trabajo innecesario. Por ejemplo: si se quiere calcular el M.C.D. de 8 y 32 , y se observa que 8 es divisor de 32, (pues 8.4=32) entonces se concluye que 8 = M.C.D. (8,32) porque 8 es el mayor divisor de 8.
Como además 8 divide a 32, 8 es un divisor de ambos números, y no hay otro número mayor que 8 que los divida a ambos.
Mucho más largo e innecesario resultaría realizar todo el procedimiento de descomponer en factores primos para luego encontrar el M.C.D.(8,32).
Mínimo Común Múltiplo
Se ha visto ya que todo número natural tiene una infinidad de múltiplos. De todos ellos, el mínimo múltiplo es el mismo número. Por ejemplo, si se trata del 3, sus múltiplos son : 3, 6, 9, 12, 15, etc. El menor de todos es, por supuesto, 3.
Así también, el menor de todos los múltiplos de cualquier número natural es él mismo.
Dados dos números naturales, el producto de ellos es otro número que es múltiplo de ambos. Así, siempre habrá un número natural que sea múltiplo de otros dos a la vez. Por ejemplo:
Ejemplo 1
Se toman el 5 y el 7. El número 35 es múltiplo de 7 y de 5 pues: .
Ejemplo 2
En el caso de 6 y 2, también 12 es múltiplo de 6 y de 2
En estos casos se dice que: 35 es un múltiplo común de 7 y 5. También 12 es un múltiplo común de 6 y 2.
En el ejemplo 1, ningún número menor que 35 es múltiplo de 7 y de 5 a la vez.
En el ejemplo 2, sí existe un número menor que 12, el 6, que es múltiplo de sí mismo y también es múltiplo de 2, y se tiene entonces que el 6 también es un múltiplo común de 2 y 6.
Pero no existe ningún número menor que 6 que sea múltiplo de 2 y de 6 a la vez. Se dice entonces que el 6 es el mínimo común múltiplo de 2 y 6, y el mínimo común múltiplo de 5 y 7 es 35, abreviándose así:
m.c.m. (5,7) = 35, m.c.m. (2,6) = 6
Como se dijo antes, al multiplicar dos números entre sí se obtiene otro número que es múltiplo de ambos, pero ya se vio, en el caso de 2 y 6, que 12 no es el mínimo de los múltiplos que tienen en común 2 y 6.
En cambio, en el caso de 5 y 7, resulta que 35 sí es el mínimo común múltiplo de ellos.
¿Cuál es la diferencia entre estos dos casos?
La diferencia se observa cuando se descomponen los números en sus factores primos:
2 = 2 5 = 5
6 = 3 x 2 7 = 7
El 2 y el 6 tienen un factor común, y 5 y 7 no lo tienen.
Al multiplicar se está repitiendo el factor 2, porque aparece como factor de 6 y como factor de 2.
Al multiplicar , no se repite ningún factor.
Si se toman los tres factores de 6 y 2, es decir: 3, 2 y 2, y luego se omite uno de los que se repite, al multiplicarlos, se obtiene:
Este número sí es el m.c.m. Entre 2 y 6, como se vio antes.
Otro ejemplo:
Para calcular el m.c.m. de 12 y 15, se descomponen en factores primos ambos números:
El único número que aparece como factor de ambos números es el 3. Se multiplican entonces todos los factores de ambos números, pero sin repetir el 3:
El m.c.m. (12,15) = 60.
¿Cómo se sabe que no hay ningún número menor que 60 que sea múltiplo de 12 y de 15 a la vez?
La clave para responder esta pregunta está en la descomposición de 60 en factores primos:
Los factores se pueden multiplicar en cualquier orden, para obtener 60:
se puede ver que 60 es múltiplo de 12 porque los factores y 3 aparecen en la descomposición.
También se puede escribir :
60 es múltiplo de 15 porque aparecen los factores 3 y 5 en la descomposición.
Pero si se omite algún factor, ya sea 2 ó 3 ó 5, no se podría obtener un múltiplo de 12 y 15 a la vez. Por ejemplo:
30 es múltiplo de 15, pero no de 12.
Se observa entonces lo siguiente:
1) Cualquier número que sea múltiplo de 12 y de 15 a la vez, debe contener, en su descomposición en factores primos, a todos los factores de 12 y a todos los del 15.
En nuestro caso, es la descomposición en factores primos de 60 y en efecto:
2, 2 y 3 son los factores primos de 12.
5 y 3 son los factores primos de 15.
2) Si falta alguno de los factores: , 5 , 3, ya no se obtiene un múltiplo de 12 y de 15, es decir, no hay múltiplos de 12 y de 15 menores que 60.
Es por estas razones que, para obtener 60 como m.c.m. (12,15), fue necesario conocer las descomposiciones en factores primos de 12 y de 15 y luego multiplicar todos estos factores, pero sin repetir los que aparecen en ambas descomposiciones, como en este caso, el 3.
